Thông thường, nếu X {\displaystyle X\,} là một biến ngẫu nhiên xác định trên một không gian xác suất ( Ω , P ) {\displaystyle (\Omega ,P)\,} , thì giá trị kỳ vọng của X {\displaystyle X\,} (ký hiệu E [ X ] {\displaystyle \mathrm {E} [X]\,} hoặc đôi khi ⟨ X ⟩ {\displaystyle \langle X\rangle } hoặc E [ X ] {\displaystyle \mathbb {E} [X]} ) được định nghĩa như sau

E [ X ] = ∫ Ω X ( ω ) d P ( ω ) {\displaystyle \mathrm {E} [X]=\int _{\Omega }X(\omega )\,dP(\omega )}

trong đó sử dụng tích phân Lebesgue. Lưu ý rằng không phải mọi biến ngẫu nhiên đều có một giá trị kỳ vọng, do có thể không tồn tại tích phân (ví dụ phân bố Cauchy). Hai biến ngẫu nhiên có cùng phân bố xác suất sẽ có giá trị kỳ vọng bằng nhau.

Nếu X {\displaystyle X} là một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} ,... và các xác suất tương ứng là p 1 {\displaystyle p_{1}} , p 2 {\displaystyle p_{2}} ,... với tổng bằng 1, thì E [ X ] {\displaystyle \mathrm {E} [X]} có thể được tính bằng tổng của chuỗi

E [ X ] = ∑ i p i x i {\displaystyle \mathrm {E} [X]=\sum _{i}p_{i}x_{i}\,}

cũng như trong ví dụ đánh bạc nêu trên.

Nếu phân bố xác suất của X {\displaystyle X} chấp nhận một hàm mật độ xác suất f ( x ) {\displaystyle f(x)} , thì giá trị kỳ vọng có thể được tính như sau

E [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x . {\displaystyle \mathrm {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x.}

Định nghĩa của trường hợp rời rạc trực tiếp suy ra rằng nếu X {\displaystyle X} là một hằng biến ngẫu nhiên (constant random variable), nghĩa là X = b {\displaystyle X=b} với một b {\displaystyle b} là một số thực không đổi nào đó, thì giá trị kỳ vọng của X {\displaystyle X} cũng bằng b {\displaystyle b} .

Giá trị kỳ vọng của một hàm g(x) tùy ý của x, với hàm mật độ xác suất f(x) có công thức

E [ g ( X ) ] = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) f ( x ) d x . {\displaystyle \mathrm {E} [g(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,\mathrm {d} x.}